Neste minicurso, exploraremos de maneira introdutória o fascinante mundo dos sólitons, soluções localizadas e estáveis que surgem em equações diferenciais parciais não lineares, combinando propriedades de partículas com as de ondas.

Partiremos de sistemas físicos simples, como cadeias de osciladores e pêndulos acoplados, para introduzir de forma gradual equações fundamentais como a equação de onda e a equação de sine-Gordon. 

Veremos como construir soluções explícitas dessa equação e como elas podem ser interpretadas como partículas de tamanho finito. Vamos introduzir as transformações de Bäcklund para construir novas soluções em uma espécie de princípio de superposição não linear. 

Por fim, falaremos brevemente da estrutura integrável da equação de sine-Gordon, apresentando-a como uma condição de curvatura nula para uma conexão, o que nos permitirá acessar uma perspectiva geométrica e algébrica da equação. Essa formulação revelará a existência de um número infinito de quantidades conservadas e nos levará à discussão do papel fundamental das álgebras de Lie na descrição da integrabilidade.